Vers le Nombre d'or : Texte de Mr Rolland et travail de Diane, Amélie et Aubin

Après une étude statistique sur le rapport longueur / largeur avec un rectangle considéré comme harmonieux par les élèves, il ressort que pour les élèves ce rapport doit être proche de 2.

Dans un deuxième temps il a été procédé à la détermination de la valeur exacte du nombre . Puis un travail sur le puzzle de Lewis-Carol a permis de retrouver le nombre d’or dans une configuration transformant un carré en rectangle.

Les élèves ont également observé la convergence du quotient entre deux termes consécutifs des suites de Fibonacci vers le nombre d'or  et ce quel que soient les deux nombres positifs de départ. La suite de Fibonacci étant celle démarrant par 1 ; 1.

Lors de la dernière séquence, les élèves ont effectué une recherche libre sur des situations où l’on peut penser retrouver un lien avec le nombre d’or et de restituer leur recherche sur un document dactylographié.  Une sélection du travail rendu est disponible sur le site

Pierre Rolland

Professeur de Mathématiques de la classe de seconde Sciences et Patrimoine

BORDALO Diane                                                                                           seconde 7

Le nombre d’or

Dans quelles situations se trouve le nombre Phi ?

1^ère situation : La pyramide de Khéops

Les 3 pyramides égyptiennes de Gizeh ont été les dernières demeures des pharaons Kheops, Khephren et Mykérinos. Elles ont été construites vers 2600 avant JC. La plus grande d'entre elles fut construite pour recevoir le corps du souverain Kheops et mesure 146,60 mètres de haut et 231 mètres de côté. Elle est l'une des sept merveilles du monde.

                                                                                          Khephren, Khéops, Mykérinos

Présentation de la pyramide :

La pyramide est à base carrée et ses dimensions originales sont de 146,60 mètres (à un cm près) de hauteur, 231 mètre de côté (à 1 mètre près).

Hauteur de la face mesurée sur le plan incliné = 186 m

Angle d'inclinaison de ses faces : 51°50

Périmètre 922 m

Surface 53 056 m²

Volume : évalué à 2 592 341 m³ (ou 2 521 000 m³) à l'origine ; aujourd'hui : 2 352 000 m³

                                                        Masse 5 000 000 t

Calcul de la pyramide :
SH représente la hauteur de la pyramide de longueur h = 146,60

La pyramide est à base carrée et ses dimensions originales sont de 146,60 mètres (à un cm près) de hauteur, 231 mètre de côté (à 1 mètre près).

 Démonstration :

On a schématisé ci-dessus la pyramide de Kheops.

 SH représente la hauteur de la pyramide de longueur h = 146,60 m

 AB représente un côté de la pyramide, de longueur 2a = 231 m

 Soit E le milieu de ce côté. On a alors :

 AE = EB = EH = a

 On pose : SE = SE est appelé l’apothème de la pyramide.

Le triangle SHE ainsi obtenu est un triangle rectangle en H. D’après le théorème de Pythagore, on a :

x² = a² + h²                                                        

x² = (231/2)² + 146,60²

x²=186,63 m (à 1 cm près)

Et on a : a = 186,63/231/2 = 1,616 (à un millième près)

Ainsi, le rapport de l’apothème sur une demi-base est bien égal au nombre phi (aux incertitudes de mesures près) !!

Fléty Amélie                                                                                        seconde 7

MPS : Où se cache le nombre d’or ?

Situation n°1

Thème 1 : L’architecture

I] Explications 

a) Démonstration par calculs

Nous pouvons remarquer que trois nombres sont apparents sur la photographie : 21, 34 et 55 et ils ne sont pas là au hasard. Ils font partis de la suite de Léonardo Fibonacci dont les nombres s’additionnent hormis les deux premiers puis se divisent avec le résultat toujours au numérateur et le précédent au dénominateur. C’est la suite qui se rapproche le mieux du nombre d’or avec des quotients juste supérieur ou inférieur au nombre d’or. Je prends les deux nombres 1 et 1 de la suite puis je poursuis des additions et des divisions :

Termes de la suite	Quotients
1	/
1	/
1 +1 = 2	2/1 = 2
2 + 1 = 3	3/2 = 1,5
2 + 3 = 5	5/3 est environ égal à 1,667
3 + 5 = 8	8/5 = 1,6
5 + 8 = 13	13/8 = 1,625
8 + 13 = 21	21/13 est environ égal à 1,615
13 + 21 = 34	34/21 est environ égal à 1,619
21 + 34 = 55	55/34 est environ égal à 1,618
Etc	etc

 

On voit réapparaître nos 3 nombres et leurs quotients se rapprochent petits à petits au nombre d’or qui est environ égal à 1,618. Donc je peux dire que la personne à l’origine de la construction de ce théâtre ou plutôt à l’origine de ces plans à bel et bien utilisé le nombre d’or pour pouvoir avoir un endroit harmonieux. Tout en essayant de s’y approcher au maximum

Situation n°2

 

Thème 2 : La nature

I] Explications

a) Démonstration par calcul

Même dans la nature le nombre d’or est présent :

·         Dans un tournesol, on peut voir des spirales qui tournent soit dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse. On remarque que ces spirales qui tournent dans le sens horaire et dans le sens inverse si on fait la somme du nombre de spirales dans un sens puis de l’autre, leurs résultats sont deux chiffres consécutifs de la suite de Fibonacci :

Termes de la suite	Quotients
1	/
1	/
1 +1 = 2	2/1 = 2
2 + 1 = 3	3/2 = 1,5
2 + 3 = 5	5/3 est environ égal à 1,667
3 + 5 = 8	8/5 = 1,6
5 + 8 = 13	13/8 = 1,625
8 + 13 = 21	21/13 est environ égal à 1,615
13 + 21 = 34	34/21 est environ égal à 1,619
21 + 34 = 55	55/34 est environ égal à 1,618
Etc	etc

 

Par exemple dans le tournesol suivant :

Nous pouvons voir deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci 21 et 34. Le nombre de spirales dans le sens horaire est plus petit que le nombre de spirales dans le sens inverse. Suivant la taille du tournesol les résultats augmentent 34 et 55 par exemple.

Gady Aubin                                                                                          seconde 7


 

1 – Architecture 

                On retrouve dès l’Antiquité la notion de nombre d’or en architecture. Le Panthéon, créé par Phidias, aurait des dimensions idéales sur sa façade. Ces résultats sont contestés et variés, mais il a été néanmoins prouvé que si on compare les mesures de sa hauteur  et de sa longueur, le rapport est environ égal au nombre d’or. C’est d’ailleurs en l’honneur de Phidias que ce nombre a été appelé phi, ou Φ.

                Au XXème siècle, des architectes s’intéressent à ce nombre. Le Corbusier, célèbre architecte, met en place le Modulor, une représentation idéale permettant de placer l’homme dans un environnement proche de la nature, puisqu’équivalent ou presque au nombre d’or.  Il le représente dans sa taille idéale, et propose du mobilier adapté à sa taille. Il s’agit d’une représentation plus précise de l’homme de Vitruve de Léonard de Vinci. La Cité Radieuse de Marseille a donc été créée avec ce modèle, pour permettre un « épanouissement » de l’Homme.

 

2 – Nature

                Dans le monde végétal, le nombre d’or est très présent si on étudie la disposition des feuilles sur la tige de certaines espèces (phyllotaxie), ou l’implantation des pétales sur les tournesols, par exemple. L’écorce des ananas, ou des pommes de pins présentent des motifs liés à la suite de Fibonacci. Sur les pommes de pins, si on compte le nombre d’écorce implantées en spirale, on obtient 8 dans un sens, et 13 dans l’autre. Or, ces deux valeurs sont des nombres de la suite de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13), ce qui permet de le rattacher au nombre d’or. On retrouve cette logique avec les pétales de tournesols. Ces résultats ont été prouvés par de nombreux scientifiques, et des modèles informatiques ont pu confirmer la présence du nombre d’or.  

                Dans le règne animal, on retrouve le nombre d’or sur la spirale du Nautile (ci-contre). Il s’agit en fait d’une spirale logarithmique qui est composée d’une série de rectangles d’or décroissants. D’ailleurs, si on étudie la taille de ces rectangles, on retrouve la suite de Fibonacci.

                On trouve également le nombre d’or dans la double spirale de l’ADN. En effet, si on étudie la taille d’un cycle de double spirale, il mesure 34 angströms  par 21, qui sont deux valeurs de la suite Fibonacci.

3 – Art

                Le nombre d’or est souvent représenté et démontré dans les tableaux, mais bien souvent à tort. Parfois, l’artiste veut simplement représenter les proportions de manière harmonieuse, proportions proches du nombre d’or. On a donc souvent tendance à assimiler des polygones à des rectangles ou des segments d’or. Seuls quelques artistes, plutôt récents ont créés leurs œuvres à partir du nombre d’or. Salvador Dali, par exemple, a travaillé sciemment à partir du nombre d’or, pour s’amuser (Le Sacrement de la dernière Cène, voir à droite) : la table est exactement à la section d’or de la hauteur de la peinture. On peut citer aussi Piet Mondrian.

                En musique, le nombre d’or n’a sans doute pas été utilisé consciemment par J-S Bach dans ses compositions, mais plutôt pour avoir un rendu harmonieux. En effet, la proportion du temps de l’introduction de certains morceaux par rapport à la pièce entière est parfois proportionnelle au nombre d’or. Comme pour la peinture, le nombre d’or a été utilisé par des artistes plus récents comme Béla Bartók, compositeur.

                On peut aussi retrouver la suite de Fibonacci dans la poésie. Le nombre de pieds par vers est parfois significatif, même si ces données n’ont sans doute pas été voulues par l’écrivain. Il s’agit plutôt d’une logique harmonieuse encore une fois, qui semble-t-il est justifié puisque ce nombre d’or est censé être harmonieux.

 

Exemple :

Que j’aime voir, chère indolente, (8 pieds)

De ton corps si beau (5 pieds)

Baudelaire

Ø  5/8 : valeurs suivies dans la suite de Fibonacci